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Introducción

El profesor Layton y la villa misteriosa es un juego para la consola Nintendo DS. Indagando en la página del fabricante encuentro que el objeto del mismo es ayudar a una suerte de Sherlock Holmes (llamado profesor Layton) a ir descubriendo los secretos de una misteriosa villa (Saint-Mystère) y de sus personajes, con el fin último de encontrar un tesoro revelado en el testamento de un rico barón. Por el camino el profesor Layton debe resolver acertijos y puzzles, así como problemas lógicos y matemáticos.

Apenas he jugado pero intuyo que debe de ser de lo más adictivo, pues mi mujer se pasa las horas muertas resolviendo acertijos. A veces, cuando se atasca, me pide ayuda para resolver este o aquel problema. En general los problemas no suelen ser muy difíciles, salvo unos pocos que requieren de largas cavilaciones.

El objeto de este artículo es reflexionar sobre uno de esos problemas, el cual me ha llamado poderosamente la atención. Es el problema número 102, y dice así:

Enunciado del problema

Has colocado las 52 cartas de una baraja más un comodín boca abajo en una mesa. Luego empiezas a darles la vuelta una a una. Si no puedes dar la vuelta a la misma carta dos veces ¿Qué probabilidades tienes de dar la vuelta a los cuatro ases antes de encontrar el comodín?

Reflexiones previas

Los dos primeros pensamientos que me vinieron a la cabeza cuando leí este enunciado fueron:

1. No parece trivial; de hecho presenta una dificultad superior a la media de los acertijos incluidos en el juego.
2. Probablemente no requiera de un aparato matemático importante pues a fin de cuentas está dirigido al público en general.

Las reflexiones anteriores se las habrá hecho cualquiera que haya leído el enunciado igual que yo y tenga cierto conocimiento del resto del juego. Habrá un pequeño grupo, empero, que considerará trivial el problema y dará una solución inmediata. Son personas con una inteligencia superior a la media (entre las que no me incluyo).

Es cierto que no es necesario coger lápiz y papel para resolver el problema anterior. La solución es trivial si antes hemos tenido una pequeña idea feliz. Las ideas felices no son necesariamente ideas complicadas. De hecho, cuando explique en qué consiste la idea feliz más adelante en este artículo el lector convendrá conmigo en que es una absoluta obviedad. Sin embargo, quizá no se nos ha ocurrido a ninguno de los dos.  He ahí la naturaleza de la idea feliz: es esquiva; requiere enfocar el problema desde un ángulo insólito, salirse del marco de pensamiento común.

Pero si yo no tuve la idea feliz, ¿cómo podré desvelarla? ¿Acaso he hecho trampa y he leído la solución en otra parte? La respuesta es no. Gracias a cierta culturilla matemática he podido resolver el problema por un procedimiento que llamaré solución tosca. Esta solución requiere de aparato matemático, e incluso del auxilio de una hoja de cálculo. No ha sido hasta saber el valor numérico de la solución cuando he entendido verdaderamente la esencia del problema, y he podido alumbrar así la idea feliz y la solución elegante. Es decir, en mi caso particular no ha sido hasta que he tenido la solución del problema entre mis manos cuando he descubierto la manera elegante de resolverlo... Paradójico, ¿no?

Solución tosca

Después de mucho pensar infructuosamente, se me ocurrió resolver este problema algo más sencillo: ¿qué probabilidad hay de que en los i primeros naipes extraídos estén los cuatro ases y en la extracción i+1 aparezca el comodín?

Consideremos los sucesos A y B siguientes:

• A: en las i primeras extracciones obtenemos los cuatro ases y no el comodín.
• B: en la extracción i+1 obtenemos el comodín.

Por teoría básica de probabilidades es claro que:

   [1]

donde:

  [2]    y      [3]

En las expresiones anteriores N es el número de naipes en juego (52 de la baraja más el comodín). En la expresión [2] el denominador evalúa todas las formas de tomar i naipes de la baraja completa, mientras que el numerador evalúa todas las formas de tomar i-4 naipes de una baraja en que no figuran ni los cuatro ases ni el comodín. Tomamos i-4 naipes porque los otros cuatro restantes serán los ases. Por otra parte la expresión [3] es obvia.

La solución del problema original consiste en sumar las soluciones parciales para i=4..N-1 (por ser sucesos incompatibles entre sí). Así:

    [4]

Con auxilio de una hoja Excel evalué la expresión anterior y la probabilidad resultó ser de un 20% exacto. Pero 20% corresponde a 1/5, y cinco son las cartas relevantes en este problema: los cuatro ases y el comodín. La idea feliz, aunque después de arduo trabajo, fue emergiendo. Para cerciorarme de mi intuición busqué la solución a este problema alternativo: ¿qué probabilidad hay de que el comodín aparezca después de tres ases? Un planteamiento análogo al anterior me llevó a la siguiente expresión:

    [5]

La evaluación de la expresión [5] me llevó a una probabilidad del 20%, ¡idéntica a la anterior! Esto confirmó definitivamente mi intuición, y me condujo a la solución elegante.

Solución elegante

La idea feliz es la siguiente: las únicas cartas relevantes en el  problema son los cuatro ases y el comodín. La presencia de los restantes 48 naipes no tiene ninguna influencia en la probabilidad buscada y por tanto el problema original es equivalente a otro más sencillo donde estas 48 cartas son eliminadas de la baraja. Con una baraja de cinco naipes (cuatro ases y el comodín), es evidente que el comodín puede aparecer en primer lugar, en segundo, en tercero, en cuarto o en quinto con idéntica probabilidad en todos los casos, esto es: 1/5. ¡Hemos resuelto así el problema sin coger un lápiz!

Conclusiones

El problema 102 del profesor Layton no es más que una excusa para resaltar cómo a veces un problema tiene una solución inmediata si somos capaces de examinarlo desde un ángulo fresco y original. Observe el lector la innecesaria complicación de la llamada solución tosca, que requiere de ciertos conocimientos de combinatoria, probabilidad y de largos cálculos con el auxilio de un ordenador. Todo lo anterior es accesorio si en nuestra mente surge la esquiva idea feliz, que nos permite resolver el problema de manera inmediata y sin un sólo cálculo.

Pero una duda me asalta: ¿es la idea feliz un destello de grandes inteligencias o requiere de cierta base cultural y de un conocimiento previo de la materia? ¿Podemos las personas de inteligencia media alumbrar ideas felices? Me temo que no conozco la respuesta.